AREA DE UN POLIGONO

Área de una región poligonal en el plano cartesiano

Sea                A1 , A2 , A3 , ........, An

un polígono de “n” lados cuyos vértices nombrados en sentido

antihorario (en sentido contrario a las manecillas del reloj),  tiene como coordenadas : 

,........,

Entonces el área de la región poligonal 

correspondiente, es el valor absoluto de la expresión :

...............................................................................(1)

Llamada también formula determinante de Gauss

Obsérvese en la determinante se repite , al final, el primer par ordenado 
correspondiente a la coordenada de    

.

La forma de resolver esta determinante es la siguiente:

I D

De donde : 

Luego el valor de la determinante estará dada por :

....(2)

Por lo tanto sustituyendo (2) en (1) :

....(3)

Notas :

a) La elección del primer vértice en el polígono es completamente arbitrario.

b) La expresión (3) es aplicable inclusive a figuras no convexas (cóncavas)

Ejercicio de aplicación :

Hallar el área de la región pentagonal cuyos vértices son: 
, 
, 

y 

Solución:

Hacemos un gráfico aproximado :

Elijamos como primer vértice al par ordenado 
luego:

Luego de acuerdo al par anterior los otros puntos ,teniendo en cuenta el sentido antihorario serán:

Reemplazando estos valores en (1) :

Resolvamos la determinante de acuerdo a la teoría :

I D

Luego los valores de D y de I respectivamente serán:

Finalmente sustituyendo estos valores en (3) , el área de dicha región será :

Por lo tanto :

Calculo del área de un triángulo dado por sus coordenadas. 
, 
, 

Haciendo un gráfico: 

Elijamos como primer vértice al par ordenado 
luego:

Luego de acuerdo al par anterior los otros puntos ,teniendo en cuenta el sentido antihorario serán:

Reemplazando estos valores en (1):

Resolvamos la determinante de acuerdo a lo expuesto anteriormente :

I D

Luego los valores de D y de I respectivamente serán:

Finalmente sustituyendo estos valores en (3) , el área de dicha región será :

Por lo tanto :